Два математичара против 10.000 АI агената: Како се решaвање једначина старих 200 година претворило у сукоб људи и машина

Давне 1900. године чувени математичар Дејвид Хилберт направио је листу од 23 нерешених и потенцијално веома значајних математичких проблема. Много година касније стање изгледа овако: десетак их је решено, за још пет-шест постоје решења око чије тачности не постоји научни консензус, два проблема су одбачена као сувише општа, а остали проблеми још увек су актуелни.

Математика је егзактна наука, заснована је на скупу аксиома (очигледних истина чија се тачност подразумева) помоћу којих се доказују теореме (комплекснија тврђења чија истинитост није очигледна). У то време математика је пролазила кроз озбиљну кризу јер су различите математичке „школе“ полазиле од аксиома које нису биле потпуно истоветне, што је резултовало бројним неконзистентностима и парадоксима.

Хилберт је био убеђен да се математика може поново изградити тако што ће се изабрати нови, пречишћени сет аксиома а затим доказати његова комплетност и непротивреченост. Из таквог једног скупа аксиома следили би докази свих теорема на начин који би био потпуно неспоран и чврсто утемељен на здравим математичким основама.

Око ове Хилбертове идеје настао је 1920. године читав покрет који је поново кренуо да систематски „зида“ оно што данас називамо савременом математиком.

Иако је Хилбертов покрет имао неспорне резултате, један аустријско-немачки математичар показао је да је крајњи циљ недостижан.

Генијални математички логичар Курт Гедел је 1931. године кроз своје „теореме некомплетности“ показао да ће у свакој научној теорији која полази од конзистентног, непротивречног сета аксиома и која у себи садржи макар малу количину основних рачунских операција (математика, физика, хемија, биохемија, економија и ко зна шта све још), увек постојати истинита тврђења чија се тачност неће моћи доказати.

Хилберт је умро сломљеног срца, а Геделово достигнуће сматра се једним од највећих научних достигнућa XX века. Поменућемо Гедела још једном, касније.

Седам милиона долара за седам нерешених проблема

Математика је, у међувремену, направила огромне кораке. Тачно сто година након што је Хилберт објавио свој иницијални списак, почетком XXI века, амерички математички Институт „Клеј“ објавио је своју листу од седам најзначајнијих нерешених проблема у математици која нимало не личи на Хилбертову. Институт се у избору базирао, пре свега, на значају проблема и њиховим импликацијама на даља истраживања.

Илустрације ради, најчувенији проблем на листи, тзв. „Риманова хипотеза“, има толико велики значај у теорији бројева да су се математичари поделили на две велике групе: у првој су они који верују да је хипотеза тачна, у другој они који су убеђени да је хипотеза погрешна. Из та два могућа исхода настале су две паралелне гране математике које се и даље развијају, иако ће једна од њих, кад Риманова хипотеза буде решена, морати да буде комплетно одбачена.

Институт је за решење сваког проблема са листе обезбедио и награду од милион долара. Да се разумемо, ниједно решење не може да буде прихваћено преко ноћи: неопходно је да оно буде публиковано у значајном научном часопису, да прође независну рецензију од стране квалификованих математичара и да се у научној заједници формира консензус да је решење тачно.

Читав процес има и временску димензију: од тренутка објављивања рада па до тренутка доделе награде потребно је да прође најмање две године, при чему горња временска граница не постоји.

Имајте на уму Курта Гедела – он је доказао да никад нећемо моћи да докажемо све тврдње. Постоје истине које су недоказиве и сасвим је могуће да неки од проблема са списка спада управо у ову категорију.

Необичан случај Григорија Перељмана

До данас је решен само један проблем са миленијумске листе: Поенкареова коњектура.

Решење проблема објавио је руски математичар Григориј Перељман 2002. године. Верификација решења потрајала је јако дуго, делимично и због нечасних покушаја да се његово решење присвоји и припише неким другим људима.

Све то изазвало је огромну горчину код Перељмана који је у више наврата истакао да је научна заједница озбиљно корумпирана. Перељман каже да проблем није у релативно малом броју људи који се бави нечасним стварима, већ у много већем броју оних који ту срамоту гледају са стране и не подижу свој глас.

Када му је Институт „Клеј“ коначно доделио награду од милион долара за тачно решење миленијумског проблема 2010. године, Перељман је одбио да је прими, иако је у то време живео у Санкт Петерсбургу, како легенде кажу, у гарсоњери од 40 квадрата са својом мајком. Одбио је да 2006. године прими и Филдсову медаљу, највеће математичко признање које се сматра еквивалентном Нобеловој награди. Штавише, Филдсову медаљу је знатно теже добити: додељује се сваке четврте године искључиво математичарима који су млађи од 40 година.

Постоје индикације да је Перељман потпуно напустио математику 2012. године како би се бавио „неким другим стварима“. Које су то ствари, где ради (ако уопште ради), од чега и где живи – остаје мистерија. Постоји један његов „разбарушени“ снимак са пластичном кесом на пешачком прелазу негде у Русији и то је све. 

Навије-Стоксове једначине

Један од миленијумских проблема односи се на тзв. „Навије-Стоксове једначине“. Ове једначине описују кретање флуида (течности и гасова) и имају огроман значај у техници. Једначине су толико компликоване да се могу решити само приближно, али су, и поред тога, на бази њих изграђени ефикасни модели који данас имају широку употребу.

Користе се у пројектовању ракета, авиона, у временској прогнози, у конструкцији аутомобила, у климатизацији, нуклеарним реакторима, за симулирање тока крви кроз вене, артерије и срчане залиске, за пројектовање градских водоводних мрежа и ветрогенератора, за оптимизацију транспорта гаса и нафте, у војној индустрији (пројектили, бомбе), чак и у видео-игрицама где се упрошћене Навије-Стокс једначине користе за креирање реалистичних визуелних ефеката који укључују воду, маглу, дим, ватру или експлозије.

Ове једначине описују и турбулентна струјања која су у природи честа (свако ко се возио авионом зна шта то у ваздуху значи), иако је наше разумевање ове појаве и даље недовољно.

Како се ове једначине користе? Узмите, на пример, временску прогнозу. За њу вам је потребан велики скуп почетних услова (тренутна температура, брзина ветра, притисак, влажност, конфигурација тла, положај сунца, доба дана за велики број тачака у одређеном подручју). Из ових почетних услова, коришћењем нумеричких (приближних) метода и неког од потврђених метеоролошких модела (који почивају на Навије-Стоксовим једначинама), супер-компјутери израчунавају какви ће бити атмосферски параметри у неком будућем тренутку. И онда вам Биљана Вранеш све то лепо прочита и објасни.

И поред тога, ми о овим једначинама не знамо пуно. Не знамо, на пример, да ли оне имају „прихватљива“ решења за сваки скуп иницијалних података. Иако математика не може да функционише без појма бесконачности, природа, по правилу, не дозвољава манифестацију нечег што је бесконачно велико.

Нећете у атмосфери пронаћи тачку бесконачног притиска или подручје апсолутног вакуума (тзв. „сингуларитет“). Температуре се од места до места мењају постепено – никад вам Биљана неће рећи да је у Крушевцу температура –20^оC, а у Краљеву +40^оC. Нагле, скоковите промене, у природи су врло ретке.

Другим речима, природа воли постепене промене, од тачке до тачке, из секунде у секунду. Погледајте данашњу температурну криву у некој метео-апликацији на свом мобилном телефону: видећете да она представља низ „брежуљака“ (у складу са порастом и опадањем температуре) на којима не постоје велика, нагла искакања или прекиди. Математичари би рекли да је температурна крива „глатка“.

Миленијумски проблем лаички гласи: да ли Навије-Стоксове једначине за сваки скуп почетних услова имају искључиво глатка решења, налик ономе што видимо у природи? Или, под одређеним условима, ове  једначине дају сингуларитете, тачке у којима је нека физичка величина бесконачна (попут брзине струјања или притиска). Математичари би рекли да се у том случају ове једначине „распадају“.

На ово питање нема одговора више од 90 година.

Бакмастер-Алпогеове једначине

Средином августа ове године, двојица научника, Тристан Бакмастер и Левент Алпoге, направили су значајан продор ка решењу. Дошли су до решења на упрошћеном (тзв. Ојлеровом) систему једначина који подразумева идеалан, нестишљив флуид који може да тече без отпора (вискозности) кроз порозан медијум. Остало им је да направе финални корак и одраде генерализацију.

У свом раду интензивно су користили „Codex“, алат компаније „ОpenAI“ базиран на вештачкој интелигенцији (AI) који научницима и програмерима помаже у писању софтвера и тако омогућава брзу верификацију одређене претпоставке. „Codex“ је, заправо, добро познати ChatGPT, пресвучен у „радничко одело“, тако да може директно да „петља“ по вашем програмском коду, а не само да одговара текстуалним порукама.

Научници су „Codex“ плаћали из свог џепа, као и милиони других корисника широм земљине кугле, иза њих није стајала ниједна институција. Тај трошак није мали – ако сте озбиљан корисник и ако су израчунавања дуготрајна а софтвер компликован, као у њиховом случају, месечни трошкови лако могу да достигну и неколико хиљада евра.

Почетком септембра кроз друштвене мреже пронела се вест да је још један миленијумски проблем решен, и то коришћењем вештачке интелигенције. Већина лаика је типовала да иза решења стоји компанија „Anthropic“ и њихов чувени AI модел познат под именом „Claude“. Теренс Тао, вероватно водећи математичар данашњице и добитник Филдсове медаље, покушао је да смири страсти: ниједно решење не може да буде прихваћено пре него што га темељно провери научна заједница. А за то је потребно време, које често уме да демантује тврдње самоуверених аутора.

Бакмастер и Алпoге су 7. септембра у три своја рада објавили своје решење које није довољно опште, али је и даље импресивно. Теренс Тао је одмах рекао да очекује да ће употребљени метод у блиској будућности резултовати комплетним решењем.

Бакмастер се јавно извинио што је квалитет текста (не и доказа) слаб, додајући да је био под притиском да радове објави што пре, знајући да се нешто иза брда ваља. И био је у праву.

„ОpenAI“ решење

У уторак, 8. септембра, „ОpenAI“ је на Твитеру објавио пост који почиње овако:

„Објављујемо решење миленијумског проблема 'Навије-Стокс', једног од најкомплекснијих проблема са саме границе нашег математичког знања.“ 

У наредне две реченице проблем је укратко објашњен, и то је то, то је пост. У њему није било места за Тристана Бакмастера и Левента Алпогеа. „ОpenAI“ ће их поменути као значајне тек накнадно, у потпуно одвојеном саопштењу.

Испоставиће се да је „ОpenAI“, да би дошао до решења,  употребио преко 10.000 координисаних AI агената од којих је сваки био јачи од њиховог најбољег досадашњег модела „GPT 6 Аstra“. Рад је започет крајем августа и трајао је 88 сати. За то време AI агенти су разменили око три милиона порука са око 130 милијарди токена (речи или делова речи). По ценовнику компаније, вредност утрошеног времена и компјутерских ресурса већа је од 10 милиона долара.

На интернету се може наћи „папирната“ верзија доказа, класичан научни рад намењен математичарима који детаљно треба да прегледају преко 160 страница текста у наредних неколико месеци, можда и година. Како је, међутим, „ОpenAI“ тако сигуран да је објављено решење тачно? Зато што математичари данас имају савремене компјутерске алате за формалну проверу доказа математичких теорема.

Један такав алат, „Lean“, заснива се на специјалном програмском језику који математичке теореме може да претвори у низ повезаних логичких корака. Апстрактни математички изрази конвертују се у програмски код који их даље разлаже на фундаменталне логичке аксиоме, а затим аутоматски проверава да ли је сваки корак у доказу валидан.

Алат је иницијално развио „Мајкрософт“, али га тренутно одржава и усавршава непрофитна организација „Lean Focused Research“ (FRO). Алат као што је „Lean“ може у врло кратком року да открије сумњива или нетачна места у доказу, а уз то не подлеже „халуцинацијама“ карактеристичним за AI моделе. 

„ОpenAI“ је уз научни рад приложио и „Lean“ код који је прошао машинску проверу (трајала је преко 17 сати). Иако је ово веома значајан елемент у прилог тачности решења, Теренс Тао каже да је „Lean“ онолико добар колико су добре аксиоме на којима је заснован. Другим речима, све то је лепо, али се доказ не може прихватити ако у рецензији не учествују стручњаци од крви и меса.

Шта се, заправо, десило?

И док су на интернету почели да се ређају хвалоспеви о томе како је AI коначно успео сам да реши проблем пред којим су људи били немоћни, док су неки новинари већ почели да пишу текстове о томе како је 8. септембра достигнута тзв. „општа вештачка интелигенција“, способна да реши било који проблем у било којој области, на површину су почели да испливавају многи детаљи који су у свега неколико дана бацили сасвим друго светло на ово достигнуће, до те мере да је „ОpenAI“ поистовећен са „империјом без скрупула“. Оригинални пост на „Твитеру“ („Иксу“) има преко 5.000 коментара и већином су (изразито) негативни.

Шта се, заправо, десило? Биће потребно много времена да се реконструишу сви детаљи, али ствари, отприлике, стоје овако...

Тристан Бакмастер, један од двојице математичара који је током августа начинио продор ка коначном решењу, сазнао је 3. септембра да је информација о њиховом научном раду стигла у „ОpenAI“ и да компанија ради на истом проблему. Контактирао их је како би утврдио чињенице. Уместо појашњења добио је понуду да „Codex“ од сада користи бесплатно. Након тога уследиле су две много непристојније понуде од Себастијана Бубека, водећег истраживача у компанији.

Прва понуда: „ОpenAI“ ће дозволити Бакмастеру и Алпогеу да објаве своје делимично решење први. Дан касније „ОpenAI“ ће објавити своје, комплетније, и у њему поменути Бакмастера као „људско биће“ које се највише примакло коначном решењу.

Бакмастер је одбио понуду јер се такви договори у научној заједници не праве.

Бубек му је одговорио, помало претећи: „Зашто желите да уништите своју научну каријеру? Ако ви не желите да искористите моју љубазност, онда ја и не морам да будем љубазан.“

Уследила је друга понуда: „ОpenAI“ ће преправити свој доказ тако да у списак аутора укључи и Бакмастера, али тако да његов сарадник Алпоге буде искључен, зато што је он запослен у ривалској компанији „Anthropic“. Бакмастер је ову понуду одбио као дубоко неморалну.

Уместо тога, поставио је директно питање: „Да ли је 'ОpenAI' у свом доказу користио резултате рада до којих је дошао 'Codex' током његових приватних chat-сесија?“

„ОpenAI“ је одговорио да компанија не користи сазнања из приватних сесија својих корисника. На поновљено инсистирање Бакмастера да му се одговори јасним „да“ или „не“, компанијa је узвратила ћутањем. У званичном саопштењу које је уследило накнадно, стоји нешто сасвим друго: „Иако је то мало вероватно, ми не можемо у потпуности да одбацимо могућност да су деперсонализовани подаци креирани током употребе наших производа били искоришћени за усавршавање наших модела.“

Све ово Тристан Бакмастер је обелоданио пре него што је „ОpenAI“ објавио своје решење чувеног проблема. Како сам каже: „Ја текст њиховог доказа још нисам прочитао. Али сам био принуђен да изађем у јавност са свим оним што сам чуо, што ми је речено, што ми је предложено... Алтернатива је била да ћутим и слушам њихова саопштења за која сам знао да ће бити лажна.“

Ко је пронашао решење

И заиста, „ОpenAI“ је свашта демантовао у последњих неколико дана: и да су знали за детаље рада Бакмастера и Алпогеа, и да су им упућивали претње и неморалне понуде, и да су имали било какав мотив осим жеље да потврде вредност своје технологије.

Себастијан Бубек је обраћање Бакмастера назвао монтираним, са намером да запали јавно мњење. Контакт са њим је постојао, али искључиво у намери да му се ода „заслужено признање за претходна достигнућа“. Компанија се латила овог проблема искључиво у намери да буде боља од „Anthropica“, уз минимално људско учешће.

Рекли су да је у решавању проблема учествовао само један човек: онај који је формулисао задатак, све остало је AI агент одрадио сам. Испоставиће се, међутим, да је то била лаж: чак је и почетно питање формулисао „Codex“, на основу претходног искуства и (непознатих) инструкција из компаније. Уместо једног човека на проблему је радио читав „ОpenAI“ истраживачки тим. Уместо једног АI агента коришћено је 10.000. И није се радило о једном насумичном покушају, било их је много више.

Како време одмиче и како све више математичара и физичара почиње да чита рад који је објавио „ОpenAI“, све је више назнака да је и ово решење парцијално. Како су већ приметили Стан Паласек (математичар из Принстона) и Теренс Тао, објављено решење покрива само трећу и четврту тачку из формулације миленијумског проблема (која се заснива на постојању спољашње силе), док су прве две, које математичари сматрају значајнијим, и где спољне силе нема, само дотакнуте. Другим речима, и поред тврдњи из „ОpenAI“ да су решили општи проблем, то није тачно.

Да ли ће Институт „Клеј“ прихватити овакво решење, остаје да се види. На крају, решење се базира на „сажимајућем вртлогу“, концепту који су доста раније разрадили Диего Кордоба и Луис Мартинез-Зороа, истом оном који су, гле случајности, користили Бакмастер и Алпоге. Сам Бакмастер је раније рекао да „ако неко треба да добије награду Института 'Клеј', то је Луис Мартинез-Зороа“.

Да ли је „ОpenAI“, тј. њихов „Codex“ покрао рад Бакмастера и Алпогеа и тако обезбедио савршену полазну основу за „ОpenAI“? То никада нећемо знати. Али постоји једва ствар која боде очи: „ОpenAI“ нема врхунског стручњака за механику флуида. Концепт „сажимајућег вртлога“ толико је компликован и тражи огромно академско предзнање како бисте уопште могли да формулишете смислено питање или задатак у коме би се овај феномен употребио.

Како је неко из „ОpenAI“ уопште био у стању да почетком септембра крене од празног листа папира, од сажимајућег вртлога о коме нема појма, од једначина о којима не зна ништа и онда у осам дана реши један од најтежих проблема данашњице? Чак и уз помоћ AI, то је невероватна мисија. Да би то било могуће потребно је да не крећете од нуле, неко или нешто мора да вам да ветар у леђа.

„ОpenAI“ је сам признао да је трошак који су направили решавајући миленијумски проблем десет пута већи од награде коју даје Институт „Клеј“, за коју, иначе, нису ни заинтересовани. То је, објективно, „ситниш“ за фирму која намерава да током свог предстојећег изласка на берзу, од инвеститора који већ стоје у реду, покупи милијарде долара. Чак и ако мали део оде на одштету двојици научника којима су упропастили животно дело, све то је у „великој шеми ствари“ потпуно безначајно.

Уместо закључка, ево скраћене верзије за оне којима се од математике и физике врти у глави:

Неко узме камион песка са плаже. Од тог песка се направе чипови. Од тих чипова „ОpenAI“ направи машину која је „табула раза“, глупа као ћускија. Онда „ОpenAI“ покупи 1 ЕБ (један ексабајт = 1.000.000.000.000.000.000 бајтова) људског знања са интернета, најчешће не питајући никог за дозволу, ту и тамо уз неку симболичну надокнаду. Тако направе најјачу и најпаметнију машину до сада. Ту машину држе у своја четири зида, не може да је користи нико, па ни научници који су створили информације које је „ОpenAI“ у ту машину уградио. Сво то сумирано, дестиловано знање читаве цивилизације припада компанији.

Онда се из гомиле прочитаног, можебити из неке „Codex“ или „ChatGPT“ сесије, изабере нека обећавајућа, солидно разрађена идеја, неки проблем чије ће решење да одјекне у јавности. Фирма, наравно, то не ради намерно, али се таква могућност, као што сами рекоше, „не може искључити“.

Онда се у решавање проблема упрегне сав хардвер најјаче компанијске машине и применом бруталне силе коначно нађе решење у свега неколико дана.

Оригиналним ауторима се, на крају, упути неки „indecent proposal“, тек да покупе мрвице са стола. На крају, „ОpenAI“ објави спектакуларно саопштење. Следи излазак на берзу, перфектан тајминг. А тамо се не инвестира у нечији морал – паре се улажу се у пословну способност (шта год то значило) и очекивани профит. И онда с неба падне 1.000 милијарди долара.

„Не оптужујем никог“, рекао је Бакмастер, „али се осећам као Гари Каспаров након што је 1997. године изгубио меч против компјутера 'Deep Blue'. What a time to be alive!“

Наставиће се... 

Много тога десило се од тренутка када сам почео да пишем овај текст и постоји значајна могћуност да ће он, у тренутку свог објављивања, већ бити увелико застарео. Ипак, да поменемо најзначајније моменте:

„OpenAI“ је потврдио „Њујорк Тајмсу“ да је компанија, у последњих пет дана, направила огроман напредак ка решењу још једног миленијумског проблема и да се тренутно припрема саопштење за јавност. По својој прилици коришћен је исти онај неименовани, супер-моћни АI агент који је употребљен у случају Навије-Стоксових једначина.

Рекло би се да ово потврђује гласине које круже интернетом у последњих 48 сати, да је „Open AI“ решио „Hodge“ коњектуру. Постоје још увек непотврђене информације и да је, на другој страни, ривалски „Аnthropic“ решио још један нерешени миленијумски проблем – коњектуру „Birch, Swinnerton-Dyer“. Оба ова миленијумска проблема сматрају се екстремно тешким за решавање (и једнако тешким за објашњавање).

Ако се све ово испостави као тачно, свет више неће бити исти. Од 2000. године па до овог септембра, само је један миленијумски проблем био решен. А онда су АI системи, у свега десет дана, савладала још три (ако је веровати „поузданим изворима“).

Значајно? Да! Импресивно? Колико и победа виљушкара у дизању тегова.

А јуче, 11. септембра, објављено је подуже саопштење иза кога је стало 25 добитника Филдсове медаље (међу њима је и Теренс Тао), из кога издвајамо најзначајнији део:

„Циљеви компанија које се баве вештачком интелигенцијом и циљеви математичке заједнице потпуно су неусклађени. Последњих месеци, успех вештачке интелигенције у решавању великих математичких проблема одјекнуо је далеко изван математичких кругова. Међутим, игнорише се чињеница да је решавање проблема само средство за постизање примарног циља – концептуалног, дубоког разумевања проблема и његових импликација. Заборављање ове чињенице у свету вештачке интелигенције може окренути то средство против самог примарног циља. Заиста, масовна производња тврдњи по принципу 'тачно/нетачно' све бржим темпом могла би да уништи плодно тло уместо да удахне живот новим идејама.“

Како год било, ово се неће завршити на математици.