Ексцентрични математички геније, један од мађарских марсоваца: Пал Ердош, човек који је волео само бројеве štampaj

Пал Ердош је објавио преко 1.500 математичких радова, неупоредиво више него било који његов савременик. По ширини опуса једино се Леонард Ојлер, са својих 800 радова сабраних у 19 томова, може поредити с њим. Објавио је бар један заједнички рад са преко 500 људи. Да је мало више путовао возом, вероватно би један рад објавио и са кондуктером. Није имао пребивалиште, није имао радно место – живео је свуда и нигде. За материјалне ствари није марио, није имао имовину, уштеђевину, жену, децу. Није имао ништа осим математике и зато је имао све.  Бавио се математиком јер је веровао да сваки математички доказ има непролазну вредност, која са собом носи и делић бесмртности.

Рани јади

Рођен је 26. марта 1913. године у Будимпешти, у тадашњој Аустроугарској империји, у ученој јеврејској породици. Мајка Ана и отац Лајош били су средњошколски професори математике. Ердошево рођење обележено је великом породичном трагедијом: док је мајка била у породилишту, његове сестре од 3 и 5 година умрле су од шарлаха у истом дану. Та трагедија обележила је Ердошево детињство: мајка га је врло ретко пуштала из куће у страху да не закачи болест од својих вршњака.

Када је имао тек годину и по дана, његов отац био је заробљен у руској офанзиви и одведен у сибирски логор. Бригу о његовом васпитању преузела је немачка гувернанта, док је мајка најчешће била ван куће у потрази за додатним послом. Ердош је заволео математику брзо и лако – неког другог штива у кући ионако није било. Из математичких књига научио је да чита, одмах затим и да рачуна. У четвртој години истрчао је пред мајку која се после наставе у школи и приватних часова враћала кући у позне сате и рекао јој да је сам научио негативне бројеве.

Кроз Мађарску је 1919. године протутњала бољшевичка револуција Беле Куна која је угушена после само 133 дана, великим делом и због недостатка подршке у народу. Наредне године на власт је дошао Миклош Хорти, тврди десничар и популиста који је одмах заузео непријатељски став према Јеврејима.

Мађарска се сигурно не може назвати колевком фашизма, али јој не служи на част што је била прва земља између два рата која је већ 1920. донела „Numerus clausus“, пропис по коме проценат студената уписаних на високим школским установама мора да одговара природној заступљености етничких група у општој популацији. Иако пропис није експлицитно помињао Јевреје, било је јасно на кога се односи: у то време у Мађарској је живело 6% Јевреја, док је њихово учешће у студентској популацији прелазило 15%, у неким школама и 30%. 

Закон је донекле ублажен 1928. године под притиском Лиге нација, али је 1938. враћен у још екстремнијој форми, по угледу на Хитлерову Немачку. Мађарска порука Јеврејима била је јасна: „Ми вас не волимо, ми вас не желимо, ваше знање нам није потребно.“

Са доласком Миклоша Хортија на власт настала су тешка, ризична времена за мађарске Јевреје: Ердош је кроз прозор стана могао да гледа како руља пребија његове сународнике који су се случајно затекли на улици.

Мајка му је у једном тренутку предложила да га крсте у католичкој цркви. То би Пала заштитило од репресије, могао би да остави своје јеврејско порекло по страни, а не да га вуче кроз живот као ђуле везано за ногу. Иако је тада имао само седам година, Ердош се успротивио: „Ја сам Јевреј и желим то и да останем. Свако треба да буде оно што јесте.“

Отац се вратио из Сибира исте, 1920. године, жив и здрав. Игром случаја, тамо је дошао до неких уџбеника за енглески језик и у логору је научио енглески а да никад није чуо живи говор. То своје знање пренео је на сина, са страшним мађарским акцентом који је Ердош додатно изоштрио и доследно га се држао читавог живота.

Са повратком оца и Ердошеве математичке вештине почеле су брже да напредују. О свему осталом бринула је мајка, до најмање ситнице. Није се играо с другом децом, није ишао у праву школу све до десете године. И кад је кренуо, мајка га је повлачила из школе сваке друге године јер је и даље била опседнута страхом од потенцијалне заразе.

Тако је Ердош израстао у математичког генијалца, али је остао „аматер“ у свему осталом: научио је да везује пертле на ципелама у дванаестој години, а први пут се осмелио да „спреми“ себи доручак (парче хлеба намазано маслацем) тек у седамнаестој, када је 1930. кренуо на будимпештански универзитет, који је уписао упркос ограничењима за Јевреје.

Математички номад

Пал Ердош је докторирао 1934. године. Осећајући да му домовина измиче тло испод ногу прихватио је стипендију за постдокторске студије у Манчестеру 1936. године. Придружио се армији мађарских генијалаца који су напустили своју земљу у међуратном периоду.

Међу њима су били Џон (Јанош) фон Нојман, свестран човек који је позлатио све чега се дотакао (квантна механика, теорија игара, математичка анализа, архитектура рачунара, један од кључних људи у пројекту „Менхетн“), Лео Силард (први осмислио концепт ланчане нуклеарне реакције, један од оних који су уверили Ајнштајна да напише писмо Рузвелту и упозори га на опасност од немачке атомске бомбе, касније велики антинуклеарни активист), Јуџин (Јено) Вигнер (касније добитник Нобелове награде за примену теорије група у квантној механици, један од конструктора првог нуклеарног реактора у пројекту „Менхетн“), Едвард (Еде) Телер (отац хидрогенске бомбе)...

Звали су их и „Марсовцима“ јер је многима било тешко да поверују да је једна мала земља попут Мађарске могла у тако кратком року да изнедри толико великих умова.

Сви су се они, после краћег или дужег лутања, скрасили у Америци и тамо започели нови живот. Једино је Ердош постао скитница, без сталног места боравка. Већ током школовања у Манчестеру било га је немогуће лоцирати, путовао је од једног места до другог тражећи инспирацију или колеге са којима је могао да ради на за њега интересантним проблемима.

Све до 1938. године повремено је обилазио мајку у Будимпешти, али га је Хитлеров аншлус Аустрије уверио да је само питање времена када ће и Мађарска доћи на ред. Ердош је донео одлуку да се пресели у Америку.

Једно кратко време радио је на Институту за напредне студије у Принстону, али је сарадња раскинута после шест месеци јер је Ердош оцењен као „неуредан чудак“ и „особењак међу особењацима“.

Растанак му није тешко пао и Ердош је постао „математички номад“. Почео је да путује од једне математичке конференције до друге, ту и тамо би на неком универзитету одржао предавање или два и за то добио неки скроман новац. Много више пара зарадио је решавајући проблеме великим телекомуникационим фирмама (рутирање позива, балансирање оптерећења, оптимизација трошкова) – ту би за дан често зарадио и до 25.000 долара.

Некад би одбијао много веће износе јер му је од новца било много важније да проблем буде математички занимљив. Од зараде би задржао само неку малу своту, да прегура неколико наредних недеља или да отпутује до наредне дестинације. Остатак би делио људима којима је новац био потребнији, најчешће установама које брину о болесној или угроженој деци. Често би просјаку давао четврт долара, али кад је имао више, умео је да у шешир стави и свих педесет.

Живот у једном коферу

Објављивао је све више и више научних радова, ређе сам, чешће са коауторима, а количина и квалитет тих радова брзо су примећени. Ердош је, такорећи преко ноћи, постао врхунски математичар на кога су колеге гледале са све већим респектом.

У Америци је постао познат као „Пол Ердош“, његов енглески језик се поправио али незнатно: био је често неразумљив до те мере да су га, током његових гостовања на америчким ТВ станицама, титловали како би гледаоци могли да га разумеју.

Уз то, његов речник био је необичан: када бисте му пришли и пружили руку, поздрав би остао неузвраћен јер се Ердош никад није руковао. После пола сата питао би вас: „А кад сте дошли?“, што је заправо значило: „Које године сте се родили?“.

Ожењене мушкарце називао је „робовима“ или „заробљеницима“, њихове супруге биле су „шефице“, онај ко би се развео био је „ослобођен“, а математичар који држи предавање био је „проповедник“. Музика је била „бука“, а алкохол „отров“. Када би неко престао да се бави математиком, Ердош би рекао да је „умро“. Када би заиста умро, Ердош би рекао да је „отишао“.

Децу је називао „епсилонима“ (грчко слово епсилон у математици означава неку малу вредност). Замислите да вам се на телефон јави непозната особа и каже: „Добар дан, шефице, могу ли да причам с вашим робом? А ваши епсилони, како су?“ То је могао да буде једино Пал Ердош.

Легенда каже да је путовао по свету са два кофера. У стварности, имао је само један који је једва до пола био напуњен најскромнијим одевним предметима. У другој половини кофера налазио се огроман, старински радио-апарат. Ердош га је носио са собом са једном жељом: да не пропусти вест о томе да је комунизам пропао. У другој руци носио је велику пластичну кесу коју је вукао са собом још из Будимпеште, углавном напуњену математичким папирима.

Кратко се задржавао на бројним универзитетима: Нотр Дејм, Стенфорд, Сиракуза, Пенсилванија..., али се нигде није скрасио. Није волео професуру и такав ангажман није могао дуго да издржи. У паузама између конференција почео је приватно да посећује колеге с којима је сарађивао или је намеравао да то учини. Те изненадне, ненајављене посете постаће његов заштитни знак. 

Мађарски Холокауст

Време Другог светског рата било је изузетно тешко за Ердоша: његови родитељи и рођаци остали су у Мађарској која је, чак и са својим расним законима, била релативно сигурно место за око 825.000 Јевреја све до 1944. године. А онда је почињен можда и највећи појединачни злочин у Другом светском рату: Немци су посумњали да Мађари покушавају да склопе тајни мировни споразум са Савезницима (што је било тачно), те су зато решили да преузму директну контролу над земљом.

У марту 1944. године немачки тенкови ушли су у Будимпешту, влада Миклоша Хортија била је свргнута, а у нову марионетску владу сели су антијеврејски екстремисти. Стварни владар био је злогласни Адолф Ајхман који је у периоду од маја до јула систематски депортовао око пола милиона мађарских Јевреја у Аушвиц, где је већина њих већ првог дана била убијена у гасним коморама.

Ердошеви родитељи завршили су у будимпештанском гету. Отац је умро од болести и глади, али је мајка преживела. Његови рођаци већином нису – скоро сви су постали Ајхманове жртве.

Када се послератна прашина мало слегла, Ердош је одједном постао „безбедносни проблем“. У свеопштој антикомунистичкој хистерији тадашње Америке, Ердош је сврстан у групу потенцијалних совјетских шпијуна. Није протеран јер никаквих доказа против њега није било, али му је речено да, уколико напусти територију САД-a, више неће моћи да се врати. У Мађарску није могао да оде јер су га тамо сматрали америчким шпијуном.

Ердош за америчке претње није много марио – отпутовао је на једну велику конференцију у Амстердам иако је био свестан да ће за то сносити последице. И заиста, Американци му нису дозвољавали да се врати у земљу све до 1963. године.

Током боравка у Европи највећу помоћ пружио му је Израел – тамо су га финансијски подржали, а обезбедили су му и катедру на једном израелском универзитету где је увек могао да се врати ако опет западне у неприлике.

Мађарска је, у међувремену, мало попустила у свом тврдом ставу и Ердош је 1956. коначно добио прилику да отпутује у Будимпешту и поново види мајку, и поведе је са собом. 

Када му је Америка коначно одобрила улазну визу, Ердош је поново почео да посећује тамошње универзитете и научне скупове. У том тренутку његов пасош већ је имао печате 26 држава. Наредних пет-шест година мајку је водио свуда са собом: на факултетска предавања, на конференције, у госте код својих колега код којих би једноставно бануо да би са њима радио математику...

Његова мајка, већ у позним годинама, није разумела ни реч енглеског, нити је могла да прати математичке дискусије које су биле изнад њених знања и могућности, али јој то није сметало: коначно је била са својим сином, срећна и спокојна. Где год су се затекли у свом скиталачком животу, делили су исту собу, кревет до кревета, држећи се за руке све док не би пали у сан.

Мајчину смрт у Калгарију 1971. године Ердош је једва преболео: у то време почео је да узима амфетамине и та навика пратила га је до смрти. Утеху је пронашао у математици, таблете су му омогућавале да ради такорећи непрекидно, често и по 20 сати на дан.

„Гост из пакла“

Без имовине, без адресе, без сталног запослења, а сада и без породице, Ердош се потпуно окренуо лутању без неког великог плана. Од 1973. године највише времена проводио је у Америци. Није остало забележено да је ико одбио да му укаже гостопримство, мада се тако нешто вероватно дешавало у његовим манчестерским данима када је био много мање познат.

Заправо, највећи број математичара једва је чекао да им се на вратима појави овај незвани гост који би уместо представљања и поздрава рекао само: „My mind is open“ („Мој ум је отворен“). А то је отприлике значило: „Очекујем неки тежак математички проблем, немој да ме разочараш.“

Сви његови домаћини знали су да ће им неочекивана посета омогућити „квантни скок“ у научној каријери, јер Ердош је био човек који решава математичке проблеме, и своје и туђе, а најчешће заједничке. Непогрешиво је умео да препозна математички ниво свог саговорника и да му зада проблем који ће бити решив, а опет довољно тежак да из њега обојица могу да науче нешто ново.

Било је математичара који су из темеља променили метод, па чак и област свог истраживања јер им је Ердош отворио очи и открио неке нове пределе који су нудили обиље научног материјала, понекад и за неколико наредних деценија.

Имало је то своју „цену“ јер је Ердош био, како неко лепо рече, „гост из пакла“. Био је потпуно несамосталан и пасиван, неко је морао да му сервира сва три оброка и да скоро сваки дан пере његову прескромну „гардеробу“, коју је прљао брзином неспретног детета које је све време проводило на улици.

Често би разговор с укућанима прекидао зато што му је изненада пало на памет генијално решење проблема на коме је радио са неким далеким колегом. У таквим ситуацијама морао је хитно да телефонира, да идеја не испари, да је провери што пре, па остајао би на вези по читав сат и правио астрономске телефонске рачуне које би, без зле намере, остављао својим домаћинима за успомену.

Понекад би му домаћини на источној обали рекли да је сувише рано да зове колегу из Калифорније јер је тамо тек 5 сати ујутру, човек сигурно спава. Ердош би само одмахнуо руком: „Још боље, то значи да је сигурно код куће!“

И кад би једног дана, после пар недеља боравка, констатовао да су све математичке теме од заједничког интереса темељно претресене, Ердош би једноставно рекао да мора да иде. Онако убог није могао да оде нигде, тако да је карту до наредног боравишта, до наредног колеге и следеће математичке авантуре морао да плати његов тренутни домаћин. 

Анђеоска страна

Да ли су колеге Ердоша примале у госте само због личног интереса, због жеље да из једног генијалног ума извуку неку вајду за своју каријеру? Можда је било и таквих. Али они код којих је најчешће боравио, истичу да је „гост из пакла“ имао и своју анђеоску страну.

Ердош се никад није одмарао од математике јер није постојало ништа друго у чему би уживао. Али би повремено волео да оде у шетњу, обично до локалне основне школе, па чак и вртића, и ту би држао надахнуте говоре о лепотама математике, тражећи искру у дечијим очима, знак талента који чека да буде откривен.

Волео је „епсилоне“ и умео је врло брзо да препозна ниво математичког талента у њима. Ако га је било, давао би најбоље савете: у коју школу дете треба да иде, ком професору родитељи треба да се јаве, које књиге и којим редоследом дете треба да прочита. Нарочито је био пажљив према девојчицама, многе од њих определиле су се за математику само зато јер су имале срећу да им Ердош сврати у изненадну посету.

Као гост, био је захвалан за сваку ситницу, и никад није имао примедбу на свој смештај или храну. Кад год би му љубазни домаћини платили карту до наредног места, он би то уписивао у своју свешчицу уз обећање да ће вратити новац „врло брзо“, и у већини случајева то обећање је одржао.

У каснијим годинама добио је преко 30 почасних доктората разних универзитета, али је неке вратио јер је сазнао да се институција која га је наградила некоректно понела према особи која је имала другачије мишљење, или је припадала некој мањинској групацији.

Грејемов број

Ердош је имао много сарадника, али тешко да је ико од њих био његов блиски пријатељ. Пријатељство подразумева макар површни увид у нечију интиму, а то је било оно што Ердош никад није имао. Ипак, један чувени амерички математичар био је ближи Ердошу од свих осталих: реч је о Роналду Грејему, о коме би се могао написати једнако интересантан текст.

Иако никад није завршио средњу школу, био је свестрано талентовано дете па му је Универзитет у Чикагу доделио пристојну стипендију. Спорт га је, ипак, занимао много више од учења: био је изврстан гимнастичар, шампион у акробацијама на трамбулини, возио је моноцикл, вежбао жонглирање, у чему се страсно такмичио, често побеђивао и на колеџу и на државном нивоу.

Факултет је уписао и завршио на Аљасци, изгледало је да ће се окренути физици, али је отишао на Беркли, где је докторирао на тези из теорије бројева и схватио да му је математика, заправо, највећа страст.

Иако је највећи део радног века провео у лабораторијама АТ&Т-ја у Њу Џерсију, где је стигао до титуле „главног научника“, Грејем је упамћен пре свега захваљујући својим разноврсним математичким радовима. Објавио их је преко 400, од тога стотину заједно са својом четвртом супругом Фен Чунг, која је такође била математичар. Уз то, Америка има две велике националне асоцијације математичара и једино је Грејему пошло за руком да буде председник обе.

Ипак, најпознатији је по броју који носи његово име: „Грејемов број“ је дуго времена важио за највећи број који се икад појавио у неком научном раду. До њега је Грејем дошао решавајући један проблем из теорије графова који се односи на минималан број просторних димензија потребних да се ивице „хиперкоцке“ (тела налик на коцку, само у више димензија) обоје на одређени начин: у то време знало се да тај број није мањи од шест, данас знамо да је тај број највероватније 13, док је горњу границу први израчунао Грејем.

Тај број је тако сумануто велики да га не можете записати ни на један начин који сте учили у школи. Штавише, када бисте читав космос изделили на „Планкове коцкице“, најмање делиће простора са којима наука може да манипулише, и кад бисте у сваку ту бизарно малу коцкицу уписали по једну цифру Грејемовог броја, свемир не би био довољно велики да у њега стане читав број.

Пријатељи до гроба

Грејем је са Ердошем написао преко 30 заједничких радова. Упознали су се случајно, на неком научном скупу у Колораду 1963. године. У предаху између два предавања, наизглед „смотани“ Ердош глатко је победио атлетски грађеног Грејема у пинг-понгу. Грејем је био толико ван себе да је по повратку у Њу Џерси почео да тренира стони тенис тако фанатично да је у року од годину дана постао шампион АТ&Т-а, а затим и читаве државе.

Временом су Грејем и Ердош изградили чврсту везу која је трајала све до Ердошеве смрти.

Ердош је код Грејема био редовни гост, једино би код њега остајао и пуна два месеца, често и неколико пута годишње, можда и зато што је ту, уместо с једним, могао да дискутује са два математичара истовремено. За сво то време, буквално је „сатирао“ Грејема (а понекад и његову супругу) темпом рада који је почињао у цик зоре.

Када би Грејем покушао да се „извуче“ констатацијом да им је обојици потребан одмор, Ердош би рекао: „Одмараћемо се кад будемо били у гробу.“ Грејема би пустио да оде на спавање тек у касним вечерњим сатима, када би Роналд практично престао да даје знаке живота.

Како би очувао бистрину ума Грејем је са Ердошем често разговарао у дворишту, изводећи акробације на трамбулини или жонглирајући лоптама (Грејем је био нарочито поносан на чињеницу да је био и председник Америчког удружења жонглера: у ваздуху је могао да држи седам лоптица истовремено, а о теорији жонглирања написао је и неколико научних радова).

Била је то надреална сцена: два човека, један у баштенској столици у изгужваном оделу, загледан у папире прострте у крилу, и други, одевен као циркуски акробата, страсно разговарају о неком тешком математичком проблему.

Математички снови

Предах од математике увек је био краткотрајан. Јер Ердош би се бавио математиком и у сну. Дешавало се да му фантастична идеја сине у глави у три ноћу, због чега би га обузело такво одушевљење да је са неким морао моментално да га подели. Али како, у глуво доба, кад домаћини спавају?

Ако не може с њима, може да се провесели сам! Ердош би тад узео лонац, тигањ, плех, кутлачу, шта год му падне под руку и кренуо да парадира кроз кућу лупајући из све снаге о посуђе као да је почео нови светски рат.

И поред тога, Грејемови су га волели и толерисали, никад им није постао досадан, чак су саградили и додатну спаваћу собу само за њега. Избегавали су да га остављају самог јер је Ердош био у стању да умре од глади поред шпајза пуног хране.

Када су, једном приликом, Грејемови морали да отпутују на пар дана из града, Ердошу су оставили пун фрижидер свакојаких ђаконија рачунајући да ће Ердош остати у животу, ако ни због чега другог, а оно због природног нагона човека да конзумира храну кад је гладан. Када су се вратили затекли су Ердоша потпуно руинираног, исцрпљеног, и даље загњуреног у математичке формуле. Открили су да је јео мајонез директно из тубе, да је загризао кифлу у целофану и одустао када целофан није попустио, да је покушао да испржи јаја али да су скоро сва завршила на поду...

„Састојци су добри“, рекао је Ердош, „али кад се помешају... нисам то могао да једем“.

Грејем је искрено бринуо о Ердошу. Једном га је чак натерао да остави амфетамине које је гутао као кокице. Опкладио се са Ердошем у 500 долара да неће издржати ни месец дана без „риталина“ и „бензедрина“. Ердош је прихватио изазов, не као наш „Пикац“ („Скидам се ја, само постепено“) већ радикално, тако што је истог часа престао да узима пилуле.

После месец дана покупио је новац од опкладе, али без икаквог задовољства. Сетно је рекао Грејему:

„Мислим да сам ти доказао да нисам зависник. Али за ово време нисам урадио ништа... Раније сам у празном листу хартије могао да видим идеје, формуле, решења... сад видим само хладну белину. Протраћио сам месец дана живота, моја математика је месец дана стајала у месту.“

Вратио се амфетаминима и никад више није покушао да их остави. 

Опседнутост Књигом

Ердош није много филозофирао о смислу живота, али је често понављао да га свест о неминовности смрти прати од четврте године живота, исте оне године када је научио негативне бројеве.

Његов однос према Богу био је и озбиљан и комичан. Сигурно је да га ниједна велика светска религија није нарочито импресионирала, чак ни она јеврејска. Огромна страдања у Другом светском рату и чињеница да је Бог имао нека друга посла док је Ердошев народ пролазио кроз Холокауст, сигурно нису помогли да се у њему распламса вера у свемоћног Бога који чини добре ствари. Ердош је био нешто између агностика и атеисте: рекло би се да је признавао да Бог постоји, али тиме није био импресиониран, нити је био верник.

Бога би најчешће означавао иницијалима S.F. („Supreme Fascist“, врховни фашиста), не само зато што му је скривао пасош, новчаник, наочаре и чарапе, већ зато што је био власник „Књиге“, збирке најлепших, најелегантнијих и најједноставнијих доказа свих важних математичких проблема.

Био је љубоморан на Бога јер ту Књигу није делио с људима већ је себично уживао у њој, препустивши смртницима да се муче с бројевима и формулама знајући да је сав тај труд вероватно узалудан и да Књига коју ће написати математичари никад неће бити онако добра, онако велика и комплетна као што је она коју Бог љубоморно чува.

Опседнутост Књигом пратила је Ердоша кроз цео живот: кад би неко од његових колега објавио изузетан рад, доказ или решење проблема, Ердош би једноставно рекао: „Ово је из Књиге.“ Бољу и већу похвалу није имао.

Тајне простих бројева

Зато је Ердош био јако поносан на своја два рана рада. Први се односио на тзв. „Бертранов постулат“: узмите било који број, рецимо 10, удвостручите га и добићете 20. Постулат каже да између бројева 10 и 20 мора да постоји бар један прост број (број који је дељив само јединицом и самим собом). У овом случају постоји не само један такав број, већ неколико њих: 11, 13, 17, 19.

Формални доказ Бертрановог постулата дао је руски математичар Пафнути Чебишев половином 19. века, али тај доказ, по Ердошевом мишљењу, није био из Књиге јер је био сувише компликован. Много краћи и елегантнији доказ Ердош ће објавити 1932. године.

Други рад који је Ердош „преписао“ из Књиге бави се пребројавањем простих бројева. Одговор на питање „колико има простих бројева мањих од 100, 1.000 или 1.000.000“ није лак и до данас није у потпуности решен, али постоје једноставне формуле које са малим процентом грешке могу да дају одговор на ово питање.

Валидност једне од њих доказали су Жак Хадамард и Жан Делавал Пусе још 1896. године. Али ни тај доказ не спада у најелегантније. Доказ из Књиге пружиће Ердош и Сиберг тек 1949. године, при чему је остала мистерија чији је допринос ту био већи (у свађи коју је покренуо Сиберг, Ердош није желео да учествује).

Оно што Ердош није волео били су рачунари. Не зато што није знао или није хтео да их користи, нити зато што је оспоравао њихову моћ и употребну вредност, већ зато што докази који су комплетирани употребом рачунара нису били из фамозне Књиге.

Када су Кенет Апел и Волфганг Хакел 1976. године решили чувени проблем бојења географске карте и доказали да се било која политичка карта света може обојити помоћу само четири боје, Ердош није био импресиониран. У свом доказу аутори су успели да скуп свих могућих карата сведу на 1936 „основних“, а затим су сваку од њих обојили помоћу компјутера у четири боје. Доказ је био валидан, али по Ердошу није био „леп“, јер он није могао да га испрати од почетка до краја.

Такви докази могли су да буду прихваћени, али само док се не пронађе онај најелегантнији и најједноставнији, онај који долази директно из Књиге.

Свевидеће око

Према свом здрављу односио се нехајно. Током шездесетих година катаракта га је практично ослепела. Колеге су га убеђивале да се подвргне операцији, што је Ердош непрекидно одбијао због „недостатка времена“. Ипак, суочен са могућношћу да га слепило трајно одвоји од математике, на крају је пристао да га оперишу на клиници у Мемфису.

„Докторе“, питао је Ердош, „хоћу ли моћи да видим?“ 

„Наравно“, рекао је доктор, „поента операције је баш у томе“.

И онда су Ердоша ставили на болнички лежај и кренули да га возе у операциону салу. За то време, Ердош је држао математичке папире тик испред носа и шкиљећи на једно око покушавао нешто да из њих прочита. Светла у операционој сали почела су да се гасе, сестра се спремала да убризга локалну анестезију, Ердош више није видео ни слово. Кад је схватио шта се дешава, настао је хаос:

„Докторе, рекли сте ми да ћу моћи да видим, зар не?“

„Да“, каже доктор, „али после операције. Сад морате да прекинете с читањем“.

„Чекајте“, каже Ердош, „зар ви не оперишете прво једно око па друго? Док ви оперишете ово прво, зашто ја не бих могао да читам на ово друго? Објасните ми то!“

Настаје „пат“ позиција, Ердош одбија да се смири, операција не може да почне...

Доктор се на крају ипак снашао: назвао је Универзитет у Мемфису и затражио да му хитно пошаљу два математичара, мало паметнија, да заговарају Ердоша док се операција не обави. Тако је на крају и било.

Године су пролазиле и чиниле своје, али Ердош није много марио за то. Једини видљиви доказ да га је старење ипак мучило и да према томе није био равнодушан били су потписи испод радова, који су током времена бивали све компликованији.

Када је напунио 50 година, на своје име додао је иницијале P.G.O.M („Poor Great Old Man“), у шездесетој L.D. („Living Dead“), у 65. години A.D. („Archeological Discovery“), у седамдесетој још једном L.D. („Legally Dead“) и, на крају, у 75. години – C.D. („Counts Dead“).

Говорио је да сенилност код математичара има три фазе: у првој фази, математичар заборави све своје радове и теореме, у другој фази заборави да закопча шлиц, у последњој заборави да га откопча.

Ердош, међутим, никад није био сенилан. Са навршених 80 година живота и даље је публиковао око 50 радова годишње, што је више него што многи математичари публикују током читаве каријере. Ко каже да је математика резервисана само за младе људе?

Одлазак „у чизмама“

Према Ердошевој (вероватно апокрифној) верзији приче, Леонард Ојлер, један од највећих математичара свих времена, умро је 1783. године док је, потпуно слеп, уз шољицу чаја и са унуком на колену, у глави рачунао параметре орбите Урана, планете која је била откривена тек две године раније. У једном тренутку рекао је: „Завршио сам“, шољица је пала на под и који тренутак касније Ојлер је био мртав.

Ердош је често понављао да би волео да „оде“ на исти начин, „у чизмама“, на свом послу, бавећи се математиком до последњег тренутка:

„Желим да одржим једно лепо предавање, да изведем један важан, елегантан доказ из Књиге... Желим да ми се на крају свега неко из публике обрати питањем: 'Пал, а шта је решење у општем случају?' Рекао бих уз осмех: 'То питање, драги моји, остављам будућим генерацијама.' А онда бих се претурио и умро.“

Почетком деведесетих срце је почело да га издаје. Када се први пут нашао у болници, од своје собе направио је учионицу кроз коју су дефиловали локални математичари, а доктори су морали да чекају и по сат-два само да би му измерили притисак јер је Ердош одбијао да сарађује све док се водила жустра математичка дискусија.

Први пут му је озбиљно позлило у марту 1996. године на Флориди, док је на конференцији у Бока Рејтону држао предавање. Пао је на под, колеге су притрчале, позвана је хитна помоћ, а организатор је замолио присутне да се разиђу, да се одмакну, да му дају ваздуха. У том тренутку Ердош се некако придигао и у микрофон на реверу рекао: „Молим вас, не разилазите се! Имам још две важне ствари да вам покажем!“

Много тежи срчани удар доживео је у јуну исте године у Санта Крузу, на математичком скупу који су организовали његови најближи сарадници, њему у част. Ердош је седео у публици, слушајући предавача који је објашњавао суштину проблема који никако није успевао да реши. Изашао је на бину, учтиво замолио за реч а онда кренуо да скицира решење, самоуверено ређајући формуле по табли.

У једном тренутку ухватио се за груди и пао, немоћан да настави. Превезли су га у болницу, лекари су рекли да му је потребна хитна операција, прогнозе су биле неизвесне. Два дана касније, конференција је окончана коктелом који је, без Ердоша, главне „звезде“ скупа, више личио на парастос.

Све док се на вратима није појавио Ердош, у болничким хаљинама, ослоњен на рамена доктора који су му уградили пејсмејкер:

„Господо, желим јавно да захвалим овим дивним људима који су ме оперисали. А сад ми дозволите да комплетирам своје решење...“

Човек који је волео само бројеве

Изгледало је да ће судбина кад-тад изаћи у сусрет Ердошевој жељи да умре „у чизмама“, бавећи се математиком. Није све испало баш онако како је замишљао, али ни много другачије од тога. Смрт га је стигла у Варшави на конференцији која је била посвећена геометрији. Та област га није много занимала, али кад у животу објавите преко 1.500 радова, тешко да постоји област математике у којој немате шта да кажете.

Одржао је рутинско предавање и вратио се у хотелску собу. Ту га је задесио срчани удар који му је одузео моћ говора, а недуго затим још један, фатални.

Умро је 20. септембра 1996. у 83. години. Читавог живота био је окружен колегама, студентима, поштоваоцима, било га је лако наћи у сваком хотелу, на сваком скупу, на сваком факултету јер су се људи, уки и неуки, скупљали око њега.

Често је играо „симултанку“ са колегама – поређао би их као ђачиће у хотелске фотеље, а онда би ишао од једног до другог и сваком посвећивао делић свог времена. Људи су стрпљиво чекали свој ред да би поставили питање или дали коментар. Јер, за Ердоша је математика била, пре свега, друштвена активност, веровао је да математика не може да напредује без дијалога и интеракције.

Нажалост, у тренутку смрти Ердош је био потпуно сам у хотелској соби. Епитаф који је желео на свом споменику – „Коначно сам престао да будем све глупљи“ – никад није уклесан. Сахрањен је у Будимпешти, поред своје мајке.

Пол Хофман, који је написао Ердошеву биографију и објавио је под насловом „Човек који је волео само бројеве“, верује да је Ердош, ипак, умро срећан:

„Он није био геније налик на Џона Неша (добитник Нобелове награде за економију 1994. године, прим.) који је већи део живота провео у мрачној депресији, борећи се са својим шизофреним визијама. Ердош је човек који је волео живот и уживао у сваком његовом тренутку радећи оно што највише воли, чак и у свом последњем овоземаљском дану.“

Ердошев број

Из поштовања према великом математичару, његови сарадници и сарадници његових сарадника дефинисали су „Ердошев број“, као меру „академског растојања“ неког математичара од великог Ердоша. Ердош је једини имао број 0. Сви који су објавили заједнички рад с њим добили су број 1. Они који су објавили рад са неким од директних Ердошевих сарадника, али не и са Ердошем лично добили су број 2. Наредни круг математичара добио је број 3, и тако редом...

О Ердошевом броју написан је приличан број радова. Највећи данас познати Ердошев број износи 15, при чему највећи део активних математичара има број 7 или мањи (што се доста добро уклапа у хипотезу под именом „six degrees of separation“, по којој је између сваке две особе на планети могуће успоставити ланац познанстава не дужи од шест особа).

Ако се узму у обзир само математичари који имају Ердошев број, просечна вредност износи око 4,5. Након Ердошеве смрти, најмањи Ердошев број који новопечени математичар може да добије износи 2, и тако ће бити све док је у животу макар један од његових најближих сарадника.

Било је ту и смешних ситуација: неки су тврдили да легендарни играч бејзбола Хенк Арон има Ердошев број 1, зато што се заједно са Ердошем потписао на бејзбол лоптицу.

Ердошев број добио је, сасвим случајно, и један калифорнијски коњ по имену Смарти. Његов власник (иначе математичар из Оукленда са Ердошевим бројем 2) написао је протестно писмо локалном магазину, у коме је изашао кратак, али увредљив текст о раси коња којој је припадао његов Смарти.

Као аутора писма професор је потписао управо свог коња, који је ту био „увређена страна“. С обзиром да је професор био „ghost writer“ (писац из сенке), по америчким ауторским правилима он се сматрао коаутором текста, заједно са првим аутором, Смартијем, који је тако, иако коњ по занимању, добио Ердошев број 3.

Роналд Грејем, вероватно једини прави пријатељ којег је Ердош имао, умро је 2020. године у 95. години живота. Интернетом је након његове смрти почела да кружи фотографија на којој Грејем жонглира са 10 лоптица (што одговара данашњем светском рекорду), али та слика није веродостојна – неколико лоптица доцртала је његова ћерка.

Нерешени и нерешиви проблеми

Зашто је Пал Ердош и поред свог неизмерног доприноса математици и даље тако мало познат? Једним делом, зато што се математичари традиционално деле на две велике групе: на оне који граде теорије и на оне који решавају проблеме. Ердош је био у овој другој групи, нећемо рећи мање важној, али је чињеница да су градитељи увек имали већи публицитет од оних који су били сконцентрисани на детаље.

Ердош је ишао од једног проблема до другог вођен чистом интуицијом, али је имао дар и да препозна орах који је био сувише тврд за његове зубе. Неке чувене проблеме, попут Голдбахове хипотезе (претпоставке да се сваки паран број, рецимо 20, може написати као збир два проста броја, 13 + 7), Ердош је заобишао у широком луку.

Када је Курт Гедел у једном од најчувенијих математичких радова свих времена показао да ће у сваком логичком систему који у себи садржи макар елементарну аритметику увек постојати тачна тврђења која неће бити могуће доказати полазећи од неког скупа непобитних истина (аксиома), многи математичари били су потпуно разочарани, на челу са Дејвидом Хилбертом који је потрошио добар део живота покушавајући да систематизује математичко знање полазећи од малог броја основних премиса.

Испоставило се да је људско знање у области математике, физике, хемије, па чак и биологије, економије – ограничено, да ће неке ствари заувек остати недокучиве. Гедел је поставио границе људском знању, али Ердош није много марио за то: ако неки проблем не може да се реши, кога брига за то? Толико других проблема још увек чека да им се неко посвети... 

Ердош је током свог живота решио многе математичке проблеме али је неке морао да заобиђе, било зато што за њих није имао времена или зато што су били претешки. Ако би такав проблем био интересантан или евентуално значајан за даља истраживања – а Ердош је пописао 1.111 таквих проблема – он је понудио новчану награду потенцијалном решавачу. Та награда кретала се од 25 до 10.000 долара, што је била позамашна сума за неког ко никад није имао довољно новца за аутобуску карту до суседног града.

Када су га једном питали како и из којих средстава намерава да исплати премије за преко 1.000 оглашених проблема, Ердош је мирно одговорио:

„Када би сви клијенти Енглеске банке кренули да подигну свој новац у исти дан, Енглеска банка би банкротирала. Много је већа шанса да се то деси него да сви моји проблеми буду одједном решени.“ 

Роналд Грејем учинио је све што је у његовој моћи да сачува успомену на великог Пала Ердоша. Помогао је да неки његови радови буду довршени и постхумно објављени, а преузео је на себе и исплату награда за проблеме који су у међувремену били решени. Неке награде дао је из свог џепа, оне веће измирио је уз помоћ дародаваца. Најсрећнији су били они којима је Грејем уместо готовог новца послао чек потписан Ердошевом руком. Ти чекови били су ненаплативи, али је Ердошев потпис вредео много више од саме награде.

На сајту Erdos Problems налази се 1.111 Ердошевих нерешених проблема од којих је 428 у међувремену решено. Нерешени Ердошеви проблеми тренутно вреде око 25.000 долара. Иако ни Ердош ни Грејем нису више међу нама, један тексашки нафтни магнат преузео је обавезу да исплати прописану награду сваком ко реши још неки проблем са листе.